By Orlando E. Villamayor

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J = ~ .. ~ der Bruchmultiplikation aus einer klaren Bedeutung der Bruche gewonnen, nicht aber durch bloBe willkiirliche Verabredung festgesetzt hat. Ebenso kann man natiirlich die Division deuten und behandeln. Addition und Subtraktion hingegen lassen aus diesen Vora c ad+bc stellungen keine so einfaclle Deutung zu; die Formel b + d = -TJd bleibt also auch bei Burkhardt eine Verabredung, Hir die er nur Plausibilitiitsgriinde heranbringt. Vergleichen wir nun die alte Schuldarstellung mit der so geschildertett modernen Auffassung.

2. Die gebrochenen Zahlen. Gehen wir von der Behandlung der Bruche auf der Schule aus. Hier a , hat der Bruch b von Anfang an eme durchaus konkrete Bedeutung; nur daB gegeniiber dem anschaulichen Bilde der ganzen Zahl ein Wechsel des Substrates eingetreten ist: Man ist namfich von der Anzahl zum MafJ, von der Betrachtung zahlbarer Dinge zu derjenigen mefJbarer Dinge iibergegangen. Mit einer gewissen Einschrankung gibt das System der M unzen oder das der Gewichte, vollkommen das System aller Langen ein Beispiel mefJbarer Mannigfaltigkeiten.

Abstrakter kann man, urn nichts dem Inbegriff der rationalen Punkte Fremdes hineinzubringen, diese Definition dahin fassen, dafJ zwischen je zwei rationalen Punkten noch stets ein weiterer rationaler Punkt liegt. Eine Folge davon ist, daB man aus der Gesamtheit der rationalen Punkte durchaus im Endlichen gelegene Teile ausscheiden K lei n, Elementarmathematik 1. 3. Auf!. 3 34 Arithmetik: Die ersten Erweiterungen des Zahlbegrifies. kann, die weder ein kleinstes, noch ein gro6tes Element enthalten; ein Beispiel bildet die Gesamtheit aller rationalen Punkte zwischen o und 1, diese Punkte selbst nieht mit einbegriffen; denn in ihr gibt es zu jeder rationalen Zahl noch eine zwischen dieser und 0 gelegene, also kleinere, und ebenso eine zwischen ihr und 1 ge1egene, also grofJere Zahl.