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By Dietlinde Lau (auth.)

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Band 1 dieses zweibändigen Lehrbuchs liegt jetzt in korrigierter und erweiterter dritter Auflage vor und führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.

Zum Inhalt: Einführung in die Grundbegriffe der Mathematik und Vorstellung der wichtigsten Beweismethoden; Lineare Algebra und analytische Geometrie; Einführung in die Numerische Algebra

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Man sagt A ist die disjunkte Vereinigung der Mengen Ai“. Eine ” Zerlegung wird manchmal auch in der Form Z := {Ai | i ∈ I} angegeben, und die Elemente der Menge Z nennt man Blocks. 1, (1), (3) bilden die Aquivalenzklassen einer Aquivalenzrelation auf A eine Zerlegung der Menge A. ¨ Betrachtet man speziell die Aquivalenzrelation 20 1 Mathematische Grundbegriffe R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (0, 2), (2, 0)} auf A = {0, 1, 2}, so ist die zu R geh¨ orende Zerlegung der Menge A: A1 = {0, 2}, A2 = {1}.

A =⇒ B ist also immer wahr, wenn A falsch ist. “ als sinnlos ansieht. Da wir jedoch vom konkreten Inhalt der Aussagen A, B abstrahieren, sind auch Festlegungen f¨ ur 0 =⇒ 0 und 0 =⇒ 1 zu treffen. B. anhand der Bildung von A =⇒ B = A ∧ B. Mit Hilfe eines Alphabets f¨ ur Bezeichnungen der Aussagenvariablen, 0, 1, Klammern und den oben eingef¨ uhrten Zeichen , ∧, ∨, ⇐⇒, =⇒, + lassen sich kompliziertere Aussagen (sogenannte Formeln (Ausdr¨ ucke) der Aussagenalgebra) aufbauen. B. ((A ∧ B) =⇒ (B ∨ (C =⇒ A))).

Relationen in A sind dann R1 := ∅, R2 := {(a, a) | a ∈ A}, R3 := {(a, b) ∈ A2 | a|b} = R2 ∪ {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 6), (3, 6)}, R4 := {(a, b, c) ∈ A3 | a2 + b2 = c2 } = {(3, 4, 5), (4, 3, 5)}. Besonders wichtig sind zweistellige Relationen R in A, die auch bin¨ are Relationen genannt werden, und mit denen wir uns im weiteren besch¨aftigen wollen. Als Schreibweise f¨ ur (a, b) ∈ R (⊆ A2 ) ist bei bin¨ aren Relationen auch u ¨blich: aRb. M¨ ogliche Eigenschaften bin¨ arer Relationen R in A sind: R reflexiv :⇐⇒ ∀a ∈ A : (a, a) ∈ R; R irreflexiv :⇐⇒ ∀a ∈ A : (a, a) ∈ / R; R symmetrisch :⇐⇒ ∀a, b ∈ A : (a, b) ∈ R =⇒ (b, a) ∈ R; R antisymmetrisch :⇐⇒ ∀a, b ∈ A : ((a, b) ∈ R =⇒ (b, a) ∈ / R ∨ a = b); R asymmetrisch :⇐⇒ ∀a, b ∈ A : (a, b) ∈ R =⇒ (b, a) ∈ / R; R transitiv :⇐⇒ ∀a, b, c ∈ A : ((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R) =⇒ (a, c) ∈ R; R linear :⇐⇒ ∀a, b ∈ A : (a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R.

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