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By Michael Barr

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S-1 G 3... s s); 1 in der klassischen Literatur nennt man solche Pennutationen auch Zykeln. Von nun an sei M selbst endlich, sei n: = IMI. Dann zernmt M fUr jedes aE Per M in endlich viele a-Bahnen. Wir bezeichnen die Anzahl der a-Bahnen mit b(a); es gilt l::;b(a)::;n. B. gilt b(id)=n, da Bid(P)=P fUr aile pEM. FUr Transpositionen , gilt b(,)=n-l; schlieBlich gilt b(a)=1 fUr den Zykel a:=(1 2 ... ). 1 2 3... n 38 I. Algebraische Strukturen Die Zahl bra") enthalt wichtige Informationen tiber u. Wir zeigen, daB sich aus ihr in einfacher Weise sgn u berechnen lliBt.

I=ord a. Falls IGI endlich ist, so hat jedes Element von G eine endliche Ordnung. Man kann zeigen, daB diese stets ein Teiler von IGI ist. 3. Darstellung durch Linksmultiplikation. - Sei Heine Halbgruppe. Jedem Element aEH ordnen wir eine Abbildung A(a): H~H zu, die vermoge Multiplikation von links mit dem Element a definiert wird: A(a)(x):=ax fUr aile XEH. Man bezeichnet die Abbildung A(a) als Linkstranslation oder Linksmultiplikation mit a. allg. kein Endomorphismus von H ist. Wir betrachten die durch at-d(a) gegebene Abbildung A: H ~ Abb H.

Dann gilt al1"'lbIEH;, da H; eine Unterhalbgruppe von HI ist. Da l' ein Homomorphismus ist, folgt: Mithin ist y(H;) eine Unterhalbgruppe von Hz. Wir betrachten nun y-l (H;). Nach Annahme gilt y-I (H;)*IZI. Seien ai' bl Ey-I (H;), also y(a l ), y(bl)EH;. h. al1"'lbIEy-I(H;). Somit ist y-I(H;) eine Unterhalbgruppe von HI' o Insbesondere ist 1m y=y(HI ) eine Unterhalbgruppe von Hz. Besitzt Hz ein neutrales Element ez und gilt ezElm y, so ist y-I(e z) eine Unterhalbgruppe von HI' Zwei Halbgruppen HI,H z heiEen isomorph, wenn es einen Isomorphismus HI-> Hz gibt.

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