Download Boolesche Algebra und ihre Anwendungen by John Eldon Whitesitt PDF

By John Eldon Whitesitt

George Boole (1815-1864) flihrte in seinem Buch "The legislation of proposal" die erste systematische Behandlung der Logik ein und entwickelte zu diesem Zweck die algebraische Struktur, die heute als Boolesche Algebra bekannt ist. Nur wenige mathematische Werke der vergan genen hundert Jahre haben auf die Mathematik und Philosophie einen groBeren EinfluB ausgetibt als dieses bertihmte Buch. Die Bedeutung dieses Werkes hat Augustus De Morgan mit folgenden Worten zum Ausdruck gebracht: "DaB die symbolischen Prozesse der Algebra, urspriinglich zum Zweck numerischer Rechnungen erfunden, fiihig sein sollten, jeden Akt des Denkens auszudrucken und Grammatik und Worterbuch eiaes allumfassenden structures der Logik zu Hefem, dieses hiitte niemand geglaubt, bevor es in "Laws of suggestion" bewiesen wurde. " AuBer in der Logik hat die Boolesche Algebra in der Hauptsache zwei andere wichtige Anwendungen gefunden. Die erste riihrt von der Tat sache her, daB die Boolesche Algebra das naturgegebene Werkzeug flir die Behandlung der Verkntipfungen von Mengen von Elementen durch die Operationen von Durchschnitt und Vereinigung darstellt. Zusammen mit dem Begriff der "Anzahl der Elemente" einer Menge gibt die Boolesche Algebra auch die Grundlage flir die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung abo Dariiber hinaus ist die Mengenalgebra auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik von Bedeutung. Vor etwa zwanzig Jahren (fschloB Claude E. Shannon in zwei Arbeiten der Booleschen Algebra einen neuen Anwendungsbereich, indem er nachwies, daB sie sich zur Darstellung der grundlegenden Eigenschaften von Serien- und Parallelschaltungen bistabiler elektrischer Elemente, wie Schalter und Relais, besonders intestine eignet.

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Dies geschieht folgendermaBen. Definition. Die "Ordnungsreiation" a ~ b ist definiert durch die Aussage: FUr alle a und alle b in einer Booleschen Algebra B ist a ~ b genau dann, wenn ab' = O. Der folgende Satz enthalt die Aussagen der vier Satze in Abschn. 7, die dort fUr Mengen anschaulich hergeleitet wurden. Hier stUtzt sich der Beweis auf die Definition der Relation. 34 Satz 10. Die Relation £ hat in jeder Booleschen Algebra folgende Eigenschaften, die flir beliebige x, y und zgelten. a) Wenn x £ y und y £ z, dann x £ z.

Es ist kein Grund dafUr vorhanden, daB die beiden in der Definition genannten Operationen unbedingt durch (+) und (. ) bezeichnet werden mussen. Zwei beliebige andere Symbole wtirden es auch tun. Wenn eine Menge mit den Operationen und oder u und (') die entspre0 30 * chen den Axiome erfUlIte, ware sie genau so eine Boolesche Algebra. ) wurden nur gewahlt, urn mit der Bezeichnungsweise des ersten Kapitels in Einklang zu bleiben. Wir bemerken unmittelbar, daB die Mengenalgebra alle diese Axiome erfUllt und daher eine Boolesche Algebra ist.

Man teile die folgenden Aussagen in drei Klassen ein: Kl. 1- stets wahr, Kl. II stets falsch, Kl. III je nach Wertekombination von p, q, r einmal wahr, einmal falsch. 3 Wahrheitstafeln Um zu zeigen, daB die Menge aller Aussagen mit den Operationen Konjunktion, Disjunktion und Negation eine Boolesche Algebra bilden, muS zunachst der Begriff der Gleichheit definiert werden. Zwei Aussagefunktionen g und h von n Aussagevariablen Pl' P2' ... ,Pn heiBen genau dann einander gleich, wenn die Funktionen bei jeder moglichen Einsetzung von Wahrheitswerten flir die n Variablen gleiche Werte annehmen.

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