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By Mark Alan Mostow

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Example text

Die größte untere Schranke bzw. kleinste obere Schranke einer Menge M ~ IR heißt Minimum bzw. Maximum, wenn sie zur Menge M gehört. Das Infimum inf(M) (Supremum sup(M» einer Menge M ist offenbar eine untere (obere) Schranke mit der Eigenschaft, daß für jedes noch so kleine E > 0 ein Element XE E M existiert, das inf(M) ::: XE < inf(M) + E (sup(M) - E < XE ::: sup(M» erfüllt. 8 Die rationalen Zahlen Q bilden einen angeordneten Körper, sind aber nicht vollständig. In IR besitzt die Menge {x E IRlx 2 < a} Wurzel für jedes a ~ 0 ein Supremum.

Die Addition bezeichnen wir dabei mit plus und die Multiplikation mit mal. plus [z1_, z2_] : ={z1 [ [1]] +z2 [ [1]] ,z1 [ [2]] +z2 [ [2]] }; ma1[z1_,z2_]:={z1[[1]] z2[[1]]-z1[[2]] z2[[2]1. 1. 1 sind die inversen Elemente der Addition und der Multiplikation in einem Körper eindeutig bestimmt. 2 direkt nachvollziehen. 2 Man zeige, daß es unter der Voraussetzung x 2 (u, v) gibt mit xu-yv=l und + y2 > 0 genau ein Paar yu+xv=O. «u, v) stellt also gerade das einzige multiplikative inverse Element von (x, y) dar).

31 Wir wollen den Wert der Summe L" ak b"-k , a =1= b , a =1= 0, b =1= 0 , k=O mit vollständiger Induktion bestimmen. (Die vorliegende Summe ist mit dem vorigen Beispiel eng verwandte. Wir könnten ihren Wert auch durch Setzen von q = alb bestimmen). Mathematica kann uns auf eine Vermutung bringen und beim Induktionsschluß helfen: Sum[a"k b"(n-k),{k,O,n}] l+n a l+n - b a - b Damit haben wir die Vermutung: " a"+l - b"+l L a k b"-k = , k=O a-b welche offenbar für n = 0 richtig ist. 32 n Wir untersuchen die Summe Lk 3 mit Mathematica: k=J Sum[k A 3, {k, O,n}] 2 n 2 (1 + n) 4 Dies liefert also die Vermutung L n k=!

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